9 nov. 2012

MÁGICOS Y DIABÓLICOS


Artículo publicado en la revista "Fases" en septiembre de 1989
en Veracruz, Ver.


¿Quién no ha sido alguna vez víctima del irresistible encanto de los cuadrados mágicos?

Recuerdo aquella ocasión cuando pretendía encontrar una nueva “cara” para mi “caleidoscubo” (juego matemático constituido por 16 cubos que, integrados en una base cuadrada, permiten la formación de seis planos o superficies de 16 recuadros cada una, en las cuales se plantean acertijos de composición específica y variable solución)

Cinco de las caras del caleidoscubo tenían diseños que, obedeciendo a las reglas de los espacios polivariantes, permitían encontrar diversos atributos de forma, figura y color, sujetos al reordenamiento de los 16 recuadros integrados en la superficie de un módulo de 4X4 cuadros.

Un ejemplo de esto lo podemos ver en la cara denominada “Los dos colores” si intercambiamos respectivamente los cuadros de la fila 3 a la fila 4 y los de la fila 2 a la fila 1, encontramos de manera sorpresiva que la figura básica ha cambiado de color.


Diseños similares presentaban las cuatro caras restantes y para completar la sexta cara del caleidoscubo pensé que resultaría interesante elaborar un sencillo diseño exclusivamente con números. Así y sin saberlo, me iniciaba en ese momento en el fascinante mundo de los cuadrados mágicos.

El planteamiento consistía en colocar números enteros del 1 al 16 respectivamente, en cada uno de los recuadros de tal manera que, sumando cuatro números determinados dieran siempre 34. ¿Por qué 34? Porque sumando cada uno de los números del 1 al 16 dan 136 que divididos entre 4 resulta lo que será la constante 34. Ahora sólo faltaba encontrar la solución que permitiera satisfacer esta constante en el mayor número de variables lógicas repetidas en todas sus simetrías posibles, el resultado fue el siguiente:


(Cada una de las horizontales, verticales y diagonales, más cada una de las cuatro letras iguales suman 34. Observe la posición de las letras iguales y su arreglo en el módulo 16, encontrará que presentan una estructura lógica y armónica en el interior de los 16 recuadros)

Encontré 28 arreglos lógicos, en los cuales cuatro números estratégicamente posicionados en el módulo satisfacían la suma de 34. Me disponía a buscar otra alternativa capaz de aceptar un mayor número de posibilidades cuando casualmente me encontré con la página 97 del libro “El hombre que calculaba” del autor Malba Tahan, donde hablaba de los cuadrados mágicos y diabólicos.

Me impresionó sobremanera encontrar algo que yo planteaba como una idea original. Naturalmente lo tomé con calma. Me senté tranquilamente y leí los siguientes fragmentos: “…Es oscuro el origen de los cuadrados mágicos. Antiguamente se atribuían a ciertos números propiedades cabalísticas y, era muy natural que vieran cualidades mágicas en la especial característica que poseen estos cuadrados…”

Los matemáticos chinos que vivieron 45 siglos antes de Mahoma, ya los conocían. Los antiguos magos de Persia pretendieron curar aplicando un cuadrado mágico en la parte enferma, siguiendo el conocido principio: “primum non nocere”. Sin embargo, es en el terreno de la matemática donde el cuadrado mágico constituye una curiosa particularidad.

Cuando un cuadrado mágico presenta ciertas características como, por ejemplo, ser susceptible de descomposición en varios cuadrados mágicos, lleva el nombre de hipermágico. Entre los cuadrados hipermágicos se pueden citar los diabólicos. Así se denominan los cuadrados que continúan siendo mágicos cuando trasladamos una columna que se halla a la derecha hacia la izquierda, o cuando pasamos una línea de abajo hacia arriba.

Mi intención había sido honesta, no obstante el hallazgo en vez de desilusionarme me entusiasmó muchísimo, y a partir de ese momento, mi interés por los cuadrados mágicos se volvió un reto.

Pasaron un par de semanas cuando tomé mi libreta de notas. Me dispuse a observar detenidamente el acomodo de los números que había encontrado para los 16 recuadros del caleidoscubo y descubrí con pesar que la solución correspondía simplemente a la de un cuadrado mágico. En ese momento me pregunté si habría sólo una solución que lo caracterizara como diabólico. Me intrigaba hondamente cómo una persona tan remota, seguramente tan misteriosa como el cuadrado mágico, hubiera llegado a tan excelsa combinación y armonía numérica.

Sin encontrar respuesta a mis preguntas, me quedé viendo fijamente la figura del cuadrado diabólico de loa página 97. Al principio los números no me decían nada parecía como si hubieran sido colocados sin guardar entre ellos relación alguna. Mas al poco rato, una sensación de “tono” saltó a la vista. Pares de números “pesados”, guardaban equilibrio alternado con pares de números “ligeros”, de tal forma que, si los números fueran estructuras geométricas, estas quedarían entrelazadas magnéticamente en una estrecha unidad integradora.

Así apareció ante mí el recuadro de oscuro origen y remotas propiedades cabalísticas. De inmediato procedí a analizar el valor numérico de los pares y sus relaciones de equilibrio entre ellos.


 
 El acomodo de los pares de números “ligeros” con el de los pares de números “pesados”, se presenta tanto horizontal como verticalmente de forma alternada en ambas direcciones, con lo cual se establece una estrecha e inquebrantable simetría de valor unificadora. Esto es más fácil suponerlo si nos olvidamos por un momento del valor numérico del cuadrado, y pensamos que los pares de números son piezas independientes factibles de ensamblarse. O mejor aún, pensemos que los pares de números son colores, esto quiere decir que necesitaremos cuatro colores diferentes para colorearlos, por ejemplo:

* Amarillo para los pares de números “ligeros” horizontales.
* Azul claro para los pares de números “ligeros” verticales.
* Rojo para los pares de números “pesados” horizontales y
* Rosa para los pares de números “pesados” verticales.

Al producirse la mezcla de los colores que se superponen se obtiene el siguiente diagrama.


A simple vista tenemos que se ha establecido un equilibrio dinámico del color, y por si esto no fuera suficiente, los datos del tercer cuadro nos muestran los colores comportándose como números pareados en cuanto al valor numérico, que se sujetan fuertemente a una recta imaginaria, la cual pasa siempre por el centro. Número y color, en ambos casos, fundamentan el equilibrio dinámico e integrador de la magia del diabólico cuadrado.

El cuadrado mágico-diabólico acepta 86 combinaciones lógicas en la sumatoria igual a 34, y éstas se pueden incrementar tantas veces como se muevan las columnas o filas al extremo opuesto. Todo esto puede ser muy interesante, sin embargo, aún quedan pendientes dos cuestiones: a) ¿Cómo se pudo llegar a tan excelsa combinación y armonía numérica? y b) ¿Existe sólo una solución para el cuadrado diabólico? Quizá esto no lo llegue nunca a saber, (*) pero al menos pretendo encontrar una relación de cómo pudo haber ocurrido.

Acomodemos los 16 números de la siguiente manera: del 1 al 8 en fila corrida, y debajo de ellos respectivamente de derecha a izquierda, del 9 al 16 como se ve en la siguiente figura.


Si trazamos arcos de unión concéntricos entre pares de números, y estos a su vez los relacionamos diagonalmente con los de la segunda fila, de tal manera que se alteren las uniones diagonales, podemos observar que se dan automáticamente los pares de números “pesados” y los pares de números “ligeros”. Ahora, ¿cómo saber qué pareja tomar primero para acomodar en el cuadrado? Parece lógico escoger primeramente el par central, que se llevará con él a sus acompañantes diagonales. Inicialmente hemos colocado los primeros cuatro números en el cuadrado. El siguiente paso es “equilibrar” el procedimiento anterior, por lo tanto, los elegidos son el 16 y el 9, que son los opuestos extremos inferiores, y éstos “jalarán” a su vez a sus diagonales correspondientes.

Hemos colocado ya ocho números en el cuadrado. A continuación, siendo congruentes con esta misma lógica, tomamos los pares extremos superiores que se llevarán consigo a sus diagonales y, finalmente, terminaremos tomando de manera opuesta que al principio el par central inferior, que también “jalará” a sus correspondientes diagonales. Y así, todo queda bellamente engranado, magistralmente místico, sensacionalmente mágico. O si usted lo prefiere, digamos que se intuye en todo esto, la microscópica armonía, fuerza y magnetismo de todas las estructuras numéricas del universo, o simple y llanamente la innata capacidad creativa del hombre.

¿Cree usted que hay sólo una solución para este cuadrado diabólico? Sería una pena suponer que sí. ¿No cree? Pues hay otra solución, tan encantadoramente diabólica como la de la página 97. Fue fácil llegar a ella. Se me ocurrió acomodar ahora los números pares en fila corrida del 2 al 16, y debajo de ellos, respectivamente de derecha a izquierda los números nones del 1 al 15. Tracé arcos de unión, repitiendo exactamente el mismo procedimiento. Cuando los 16 números quedaron colocados en el cuadrado, pude comprobar que obedecían al acomodo de un hermoso y sencillo cuadrado diabólico, hijo legítimo del hipermágico original.


LOS FRUTOS DEL TIEMPO

Unos meses después, cuando la felicidad del cuadrado mágico de 16 casillas se volvió nostalgia, me propuse retomar el tema y decidí buscar la solución del cuadrado mágico de 25 casillas. Y para mi fortuna o para mi desgracia, en esta ocasión nunca llegué a tener una página X que me auxiliara en tan abrumadora pero excitante empresa.

Lo primero que se me ocurrió, es suponer que los números deberían guardar entre sí una simetría cartesiana, donde el 13 estaría obligadamente en el centro. (Es obvio que ahora la constante de la sumatoria es 65 y que el número de combinaciones será mayor) El razonamiento de la simetría cartesiana fue gratuito, ya que se daba solo, es decir: si analizamos la siguiente figura, vemos en el ordenamiento natural de los números del 1 al 25 del cuadrado, 20 combinaciones lógicas posibles, las cuales satisfacen la constante 65.


Sin embargo, faltaban algunas sumatorias verticales y horizontales, lo que me hizo suponer que cambiando algunos números y conservando entre ellos su original simetría cartesiana, todo quedaría resuelto. Pero esto no ocurrió así de fácil. Tampoco era factible recurrir al razonamiento empleado en la solución del cuadrado mágico de 16 casillas, ya que este modelo requiere emplear series de números pares y series de números nones.

Insistiendo con la idea de la simetría cartesiana en la siguiente figura podemos observar el 13 aislado del conjunto de pares de números, por lo que le asigné a este número el punto de origen del eje de coordenadas, por su parte, los números pares podrían ser colocados en lugares opuestos equidistantes al eje. De tal manera que existiera entre ellos una simetría cartesiana.


A partir de este momento todo fue cuestión de mucha paciencia. Finalmente apareció el cuadrado mágico de cinco casillas, pero desalentadora y simplemente mágico. Por lo tanto, fue necesario descartar el método anterior.


Después de unos días de darle vueltas al asunto, una afortunada y sencilla idea me condujo finalmente al hallazgo del tan anhelado cuadrado diabólico. En principio, opté por reducir al máximo posible la inmensa cantidad de combinaciones que existen en el ordenamiento de los 25 números del cuadrado. El método de la simetría cartesiana había reducido considerablemente la cantidad de combinaciones, al trasladar pares de números, desafortunadamente, el sistema pareado de la simetría cartesiana no cumplió con el objetivo fundamental, y por lo tanto, era necesario encontrar un artificio que permitiera disminuir al máximo el excesivo trabajo que genera la inmensa cantidad de combinaciones en el ordenamiento de los 25 números.

La idea del artificio no se hizo esperar. Y es así como surgió el cuadrado diabólico de las cinco vocales. Como es de suponer, en el cuadrado de las cinco vocales no hay que sumar nada sólo se requiere encontrar siempre las cinco vocales en cada uno de los lineamientos que determinan una secuencia de combinación lógica. Esta característica se da al menos en 30 secuencias lógicas.


A partir de este momento, empleando el artificio del cuadrado de las cinco vocales, el trabajo se redujo notablemente. Los números del 1 al 25 corresponderían a vocales arregladas de la “A” a la “U” en cinco secciones, como se ve en la siguiente figura que denominé: Tabla Básica.


  En la figura de la izquierda está representada la Tabla Básica (cuadro superior) y la Tabla de Ajuste de Coordenadas (cuadro inferior). A la derecha el cuadrado de 25 casillas que estamos formando. 
 
Para completar el correcto funcionamiento de la Tabla Básica, requerí de otro esquema que me indicara cuáles lugares del cuadrado eran ocupados en sus respectivas coordenadas. A este gráfico lo denominé Tabla de Ajuste de Coordenadas. Con estos elementos se puede ya iniciar la búsqueda del cuadrado diabólico de 25 casillas. Veamos un ejemplo: Para llenar los números de la fila “f” el cuadrado de las cinco vocales nos dice que debemos tomar primero una “A”. Tenemos cinco números “A”. Tomemos arbitrariamente el que corresponde al 21-A, e indicamos este valor con un recuadro en la Tabla Básica, y con un círculo de color en la Tabla de Ajuste de Coordenadas, marcando su posición tanto en la columna “a” como en la fila “f”.

Finalmente, colocamos el 21 en el primer recuadro del cuadrado que estamos formando. La segunda letra del cuadrado de las cinco vocales es la “i”. Volviendo a la Tabla Básica, nos dice que las “i” de las cinco secciones están disponibles, pero la Tabla de Ajuste de Coordenadas nos indica que el lugar de la fila “f” de la última sección se encuentra ocupado, por lo tanto debemos tomar la “i” de cualquiera de las otras cuatro secciones.

Cuando solamente falta un número para completar una fila o una columna, es necesario hacer la sumatoria que determine el número que resta para la constante 65, si dicho número no ha sido ocupado, se puede seguir adelante.

Con este sencillo procedimiento y un poco de paciencia, obtuve finalmente el tan anhelado cuadrado diabólico de 25 casillas. ¿Sencillo, verdad? ¿Por qué no intenta usted encontrar el cuadrado mágico-diabólico de 36 casillas? Créamelo, es divinamente mágico y encantadoramente diabólico.

(*) Algunos años después, cuando internet se encontraba en sus inicios, encontré una extensa publicación con todos los cuadrados mágicos y diabólicos para el cuadrado de 16 casillas.  

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